G). Hubungan antar Himpunan

G.    Hubungan antar Himpunan

1.      Himpunan bagian (Sub set)

a.      Pengertian himpunan bagian

Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B jika setiap anggota A juga menjadi anggota himpunan B. Notasi: A  B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Contoh 1:

1)   {1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}

2)   {1, 2, 3}  {1, 2, 3}

Contoh 2:

B = {1, 2, 3} tentukan semua himpunan bagian dari B

Jawab:

1)   { }  B

2)   {1}  B

3)   {2}  B

4)   {3}  B

5)   {1, 2}  B

6)   {1, 3}  B

7)   {2, 3}  B

8)   {1, 2, 3}  B

Ingat:

1)   Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan (    A).

2)   Setiap himpunan merupakan bagian dari himpunan itu sendiri (A  A)

3)   Jika A  B dan B  C maka A  C

b.      Menentukan semua himpunan bagian (himpunan kuasa) dari suatu himpunan.

Untuk menentukan semua himpunan bagian dapat dilakukan dengan metode penghapusan anggota, sebagai berikut:

Misal B = {1, 2, 3} himpunan bagiannya adalah:

1)      Tanpa penghapusan diperoleh {1, 2, 3} = B

2)      penghapusan 1, diperoleh {2, 3}

3)      penghapusan 2, diperoleh {1, 3}

4)      penghapusan 3, diperoleh {1, 2}

5)      penghapusan 1 dan 2, diperoleh {3}

6)      penghapusan 1 dan 3, diperoleh {2}

7)      penghapusan 2 dan 3, diperoleh {1}

8)   penghapusan 1, 2 dan 3, diperoleh { } atau

jadi semua himpunan bagian dari B adalah { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} ,{1, 2, 3}.

c.       Menentukan banyak himpunan bagian

Perhatikan himpunan-himpunan berikut!

A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu { } dan {a}

A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu { }, {a}, {b} dan {a, b}

A = {a, b, c}, banyaknnya himpunan bagian ada 8 yaitu { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} dan {a, b, c}

Jika diperhatikan banyak himpunan A diperoleh pernyataan

sebagai berikut:

Jika n(A) = 1, banyak himpunan bagaimana 2 =

Jika n(A) = 2, banyak himpunan bagaimana 4 =

Jika n(A) = 3, banyak himpunan bagaimana 8 =  dan seterusnya.

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut:

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n dan banyaknya himpunan bagian dan A adalah N, berlaku rumus N = .

Contoh:

Himpunan A = {1, 2, 3, 4}, tentukan banyaknya

himpunan bagian dari A.

Jawab:

n(A) = 4

jadi, banyak himpunan bagian A =  = 16

Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:

{ }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}.

d.     

1                             untuk himpunan bagian dari { }              1  1                           untuk himpunan bagian dari {a}            1  2  1                        untuk himpunan bagian dari {a, b}          1  3  3  1                      untuk himpunan bagian dari {a, b, c}        1  4  6  4  1                   untuk himpunan bagian dari {a, b, c, d}    1  5  10  10  5  1               untuk himpunan bagian dari {a, b, c, d, e} 1  6  15  20  15  6  1          untuk himpunan bagian dari {a, b, c, d, e, f}  banyak himpunan bagian dengan 6 anggota  banyak himpunan bagian dengan 5 anggota  banyak himpunan bagian dengan 4 anggota  banyak himpunan bagian dengan 3 anggota  banyak himpunan bagian dengan 2 anggota  banyak himpunan bagian dengan 1 anggota  Banyak himpunan bagian dengan 0 anggota

Menentukan banyak himpunan bagian yang memiliki n anggota dengan pola bilangan pada segitiga Pascal

 

2.      Himpunan Kuasa (Power set)

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi: P(A) atau .

Jika |A| = m, maka |P(A)| = .

Contoh 1:

Jika A = {1, 2}, tentukan himpunan kuasa dari A

Jawab:

Himpunan bagian dari A adalah { }, {1}, {2}, {1, 2}

Jadi, himpunan kuasa dari A adalah P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2}}

Contoh 2:

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P( ) = { }

Himpunan kuasa dari himpunan { } adalah P({ }) = { , { }}

3.      Himpunan ekuivalen

Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan tersebut sama, n(A) = n(B).

Contoh:

A = {1, 2, 3}, n(A) = 3

B = {4, 5, 6}, n(B) = 3

n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B dinyatakan A  B

4.      Himpunan yang sama

Himpunan A sama dengan himpunan B, jika A|B dan B|A atau jika setiap anggota himpunan A adalah anggota himpunan B dan sebaliknya, ditulis A = B.

Contoh;

P = {a, b, c, d}; Q = {a, b, c, d} maka P = Q

5.      Himpunan saling lepas

Dua himpunan A dan B saling lepas bila tidak ada anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B dan sebaliknya.

Contoh:

A = {0, 1, 2, 3}; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} maka A dan B saling lepas

6.      Himpunan berpotongan

Dua himpunan A dan B berpotongan jika ada beberapa anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B.

Contoh:

P = {3, 5, 7, 9, 11}; Q = {5, 7, 11, 13, 17, 19}, P dan Q disebut berpotongan karena ada anggota himpunan P yang menjadi anggota himpunan Q yaitu {5, 7}.